8.sınıf-matematik-1.ünite kurallı şekillerden kurallı sayılara

2010-10-15 00:54:00

KONU :1

Fraktallar ve Doğa

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal adı verilir. Halı veya kilim desenlerini, pisagor ağacını fraktallara örnek verebiliriz.Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte "fraktal" olarak adlandırılır.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir.

İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etki-ler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır. Bu tanımlar ışığında gözlerimizi tabiata çevirdiğimizde sayısız fraktal cisimlerle, hatta manzaralarla karşılaşırız. Kar tanelerinin kristal şekilleri kendi başlarına birer fraktaldır. Bir ağaç, bir gövdeye, onun üzerinde birkaç ana dala, her bir ana dalın üzerindeki daha ince dallara ve onların da üzerinde bu şekilde çoğalan nice dallara sahiptir. Baktığınızda bu ağacın geometrisi bir kaos ve düzensizlik içindedir. Ağaçtan bir dal koparıp onu incelediğinizde o dal parçası şekil olarak ağacın kendisine benzemekte ve adeta minyatür bir ağaç oluvermektedir. Bu dal parçasının kendine ait bir gövdesi, kolları ve daha ince dalları vardır. Belirli bir ağacın şekli üzerinde tohumdaki genetik program, alabildiği güneş ışığı, iklim koşulları, maruz kalınan hastalıklar, toprak koşulları, diğer ağaçların konumu vb. de dahil olmak üzere birbirine bağlı birçok karmaşık etken rol oynar. Akciğerlerimizdeki bronş ve bronşcuklar da ağaçlardaki gibi fraktal uzanıma sahiptir. Akarsular da yatakları boyunca kollara derelere çaylara ve daha küçük kanallara bölünür. Bir dere ya da nehir tek başına incelendiğinde o da nice kollara ayrılır. Benzer durum vücudumuzdaki damar sisteminde de mevcuttur. Çöllerdeki kumların rüzgar nedeni ile aldığı şekiller ve sakin bir havada denizdeki dalgaların şekilleri de fraktal yapıya birer örnek olarak verilebilir. Tabiatta var olması mümkün olan çok geniş ve eşsiz bir fraktal dağılım bulunmaktadır. Özellikle bilgisayar ekranlarında matematiksel formüllerle üretilen bazı fraktal biçimlerde eşsiz olma durumu bir dereceye kadar mekaniktir. Doğadaki ve sanattaki diğer fraktallerde kendi kendine benzerlik, bu tanıma baş kaldırırcasına farklı olan şeylerle bir arada bulunur. Mikroevren ve Makroevren arasındaki benzersiz fraktal yapılar dinamik bir sistemin içinde meydana gelen karmaşık ilişkilerin hepsinin bir ürünüdür. Gerçekliğin fraktal özelliklerine dikkat etmek; dünyayı oluşturan ve onu bir arada tutan gizemli, tahmin edilmez hareketi bir anlığına görmenin bir yoludur. Fraktal şekiller bilgisayar yardımı ile matematiksel olarak da modellenebilmektedir. Matematiksel fraktallar etkileyicidir, ama tekrar tekrar gördükten sonra böyle bir objenin tazeliği solar. Aynı durum, karmaşık bir süreçten ortaya çıkan, bu sayede sayısız "bölüm" ün birbirleriyle karşılıklı bağlantı içerisinde olan doğanın yaradılışları için söz konusu değildir; bu, bir algoritmanın tekrarlanması ile üretilen matematiksel bir taklide karşı hakiki kaosdur. Sonuç olarak, doğal fraktaller eşşizlik, kendiliğindenlik, derinlik ve gizem niteliğine sahiptir. Bu noktada karşımıza ‘kaos’ kavramı çıkmaktadır. Örnekleri verilen fraktal yapının bütününe ve parçalarına ait bir kural ortaya konamaz. Fraktal gelişim yani daha küçük benzer yapıların oluşma süreçleri daha önceden belirlenemez ve öngörülemezler. Günlük dilde kaosu, dağınıklık, kargaşa, keşmekeş, başıbozukluk, düzensizlik, hercümerç, dağdağa sözcüklerine yakın bir mana vererek, olumsuz durumlar için kullanıyoruz. Kaos Yunanca’da (khaos), yarık, boşluk, uçurum, hudutsuzluk, ıssızlık, girdap manalarını taşı-yor. Günlük dilden geçmiş olmakla birlikte kaos terimi, denetlenemeyen, öngörülemeyen küçük değişikliklerin büyük sonuçlara yol açtığı veya büyük değişikliklerin bir şey olmamışçasına yavaş yavaş kaybolduğu bir dünyanın kapısını aralamaya cesaret eden bilimcilerin dilinde farklı bir anlam kazanır. Kaos, hareketler, taşınmalar, doğumlarla; büyümeler, yıpranmalar, başkalaşmalarla; onarmalar, iyileşmeler, kırılmalar, yıkılışlar, patlamalar, heyelanlarla ilgilidir. Kaos için en kısa ve etkili olan "dü-zensizliğin düzeni" tanımıdır. Kaos, kuralsız bir başlangıcı, tahmin edilemez bir gelişimi ve artan bir karmaşıklığı anlatmaktadır. Kaosun tanımı entropiyi de hatırımıza getirmektedir. Entropi de kısaca bir sistemin ki bu sistem evrenin kendisi olabileceği gibi bir molekül ya da hareketli cisimler grubu da olabilir- düzensizliğindeki artışın bir göstergesidir. Entropi her ne kadar evrendeki termodinamik yasalar için kullanılsa da genel manada düzensizliğin artışını anlatan bir kavramdır. Tabiatta bir başlangıçı olan her varlık ve ona ait gelişim süreci geri dönüşü olmayan bir kaosa ve entropiye sahiptir. Büyüme, gelişme ve çoğalma zaman içerisinde karmaşık bir yapılaşmayı getirecektir. Tabiattaki bu kaos bizim anladığımız anarşi içeren değil aksine birbiri ile uyumlu, işbirliği yapan, birbirine destek olan ve en mükemmel estetiği içinde barındıran bir haldir. Karmaşık süreçlerin bildiğimiz fiziksel ve matematiksel kurallara hapsolmamış olması özgürlük kavramının tabiatta en doğru olarak bize anlatılmasıdır. Kalıplar yok, birbirinin benzeri olsa da hiçbirşey aynı değil, her parça ayrı bir yol izlese de ortak olarak bir bütünü oluşturup onu geliştiriyorlar. Hiçbir eleman bir diğerinin gelişimini engellemediği gibi, birbirlerine destek oluyor. Her bir farklılık bütünü daha da zenginleştirmektedir. Kaosta aslında bir düzen var; fakat bunu zihinlerimizde bir fomüle oturtamıyor oluşumuz ona bir düzensizlik sıfatı da eklememize neden oluyor. Tabiatın bu karakterinde bir rastgelelik görünse de sezdiğimiz ama, henüz anlayamadığımız planlar ve hesaplar bu kaosun her bir ferdinin varlığında mevcuttur. Tabiatı seyrederken ve incelerken bakışlarımızı ayrıntılara, bütünün parçalarına hatta parçaların da daha küçük elemanlarına yöneltiğimizde bilip gördüğümüzden daha zengin daha görkemli bir doğa göreceğiz.

Eşkenar Üçgen ve Altıgen Fraktalı


 

Bu doğru parçaları bir üçgen üzerinde oluşturulmuştur. Dolayısıyla fraktaldır, ama eşkenar üçgen veya altıgen fraktalı deyil, doğru parçası fraktalıdır.Sadece oluştuğu yerler eşkenar üçgen ve altıgendir.






NOT: Bazı dersaneler haklı olarak test sorularında eşkenar üçgen ve altıgen fraktalı olamaz diye not düşmüşler.Çünkü fraktal bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş yada büyültülmüşleri ile inşa edilen örüntülerdir.Bu sebeble karışıklık oluşmuştur.Aslında burada doğru parçası fraktalı vardır.Ama meydana geldiği yerler eşkenar üçgen ve altıgendir.Sonuç olarak MEB kitabında eşkenar üçgen ve altıgen üzerinde meydana gelen örüntüler fraktal olarak alınmıştır.Bizde fraktal kabul edeceğiz.

FRAKTALLAR VE ÖRÜNTÜLER








www.matematikcifatih.tr.gg






Alttaki şekiller birer fraktaldır.





FRAKTAL ÖRNEKLERİ ve FRAKTAL RESİMLERİ

    

    

    

    

              

       

       


Fraktallarla İlgili Örnek Sorular ve Cevapları
1)

Yukarıdaki soruda 1.adımda 1 kare, 2.adımda 2 kare 4 üçgen, 3.adımda 3 kare 8 üçgen, 4.adımda 4 kare 12 üçgen vardır. Soruda 4.adım olarak gösterdiği şekil 3.adımın şeklidir.Karelerin sayısının üçgenlerin sayısına oranı 4/12 yani 1/3'tür.Doğru cevap D şıkkıdır.

2)

Yukarıdaki soruda ilk 3 adım parçalanarak giden fraktaldır.Ama 3. adımdan sonra işler değişmiştir.Araya çarpılar girmiş fraktal bozulmuştur.Doğru cevap B şıkkıdır.

3)

Yukarıdaki soruda A,B,D seçenekleri sadece örüntüdür.Ama C seçeneğindeki örüntü fraktaldır.Kare 9'a ayrılıp ortadaki parça yine 9'a bölünerek devam etmiştir.Doğru cevap C şıkkıdır.

4)

Yukarıdaki soruda A,C,D seçeneklerinde ilk verilen şekil küçültülerek devam ettirilmiş fraktal örnekleridir.Ama B seçeneği fraktal deyil sadece örüntüdür.Doğru cevap B şıkkıdır.

 

KONU :2

 

 

 

HİSTOGRAM NE DEMEKTİR?

 


Tekrarlı sayılardan oluşan elimizdeki verileri, uygulanan işlemlerden sonra önce tabloya, tablodan yararlanarak grafiğe aktarılması yani veri gruplarının grafiğinin dikdörtgen sütunlar halinde gösterilmesine histogram denir.

 

Verilen bir soruda histogramı oluşturup çizmek için şu aşamalar takip edilir:

1) Önce veriler küçükten büyüğe sıralanır.


2) Veri grubunun açıklık değeri bulunur. Açıklık değeri bulunurken en büyük sayıdan en küçük sayı çıkartılır.


3) Kaç grup oluşturmak istiyorsak grup sayısı belirlenir.Grup sayısını kendimiz belirlemek istersek veri sayısının karekökü alınır.Bu kuralda grup sayısı 10'dan az çıkabilir ve daha sağlıklı olur.(Bu ifade MEB öğretmen kılavuz kitabından alınmıştır.


4) Veri grubunun genişliği bulunur.Genişlik bulunurken açıklık değeri grup sayısına bölünür.Genişlik en yakın büyük tam sayı veya en yakın büyük tek sayı olarak alınabilir.Yayınlanan iki farklı kitapta çelişkili ifadeler göze çarpıyor.Paniğe kapılmayın.Soruların %95'inde en yakın büyük tek sayıya yuvarlanmış.SBS sınavında karışık ve çelişkili soru gelmez. 2009 A kitapçığı Sbs matematik sorularından 18. soruyu incelediğimizde genişlik 6,6 çıkmıştır. 7'ye yuvarlanmıştır.Soru gayet açık ve nettir.

Bölme işlemindeki bölüm;

a) 9 gibi tek tam sayı çıkarsa aynen 9’u alırız. (Bu ifade geçen seneki Aydın Yayınları çalışma kitabı sayfa 9'daki 7.sorudan alınmıştır.)

b) 4 gibi çift tam sayı çıkarsa bir üstündeki tek sayıyı yani 5’i alırız. (Bu ifade MEB öğretmen kılavuz kitabından alınmıştır.)

c) 4,8 gibi çıkarsa bir üstündeki tek sayıyı yani 5’i alırız.

d) 2,1 gibi çıkarsa bir üstünde tek sayıyı yani 3’ü alırız.

e) 3,5 gibi çıkarsa en yakın tek sayıyı yani 3’ü alırız. (Bu ifade MEB öğretmen kılavuz kitabından alınmıştır.)
f) 3,7 çıkarsa en yakın tam sayıyı yani 4'ü alırız. (Bu ifade MEB öğretmen kılavuz kitabından alınmıştır.)

g) 7,2 gibi çıkarsa en yakın tek sayıyı yani 7’yi alırız.

h) 3,86 çıkarsa en yakın tam sayıyı yani 4'ü alırız.(MEB ders kitabı sayfa 37'deki 6.soruda ilk veri 121,son veri 152 olduğu için açıklık 152-121=31 çıkmıştır.Tabloda 8 grup olduğu için son veriyi 152 alıyoruz.Soruda 8 grup olduğu için böldüğümüzde 3,875 çıkmıştır. Genişlik 4 alınmıştır.)

5) Verilerimizi ilk sayısından başlayarak genişlik kadar sayıları devam ettiririz.Örneğin ilk sayımız 18, veri grubu genişliği de 5 ise 18,19,20,21,22 diye belirledikten sonra 18-22,23-27,28-32 diyerek devam edecek.En son verimizde bitinceye kadar böyle ikili gruplar oluştururuz.


6) Oluşturduğumuz grupları ve karşısındaki veri sayılarını tabloya aktarırız.


7) Tabloya bakarak verilerin histogram grafiğini çizeriz.


Veri gruplarının genişliğinin küçük olması dağılımı daha iyi anlatan histogramlar oluşturur. Genişlik azaldıkça grafik görsel yönden daha iyi anlaşılır. Histogramdaki zikzaklar o aralıkta hiç veri olmadığını gösterir.


NOT: Bu kadar grup genişliği ile ilgili çelişkili ifadeyi ortadan kaldırmak için en iyisi bir üstündeki tam sayıyı almaktır.Tam sayı çıksada bir üstündeki tam sayıyı, ondalık kesir çıksada bir üstündeki tam sayıyı alınız.Bu tam sayı tekte olabilir,çiftte olabilir.Şunu unutmayın MEB sbs sınavında çelişkili soru sormaz.

Örnek:
Bir sınıftaki 20 öğrencinin boyları verilmiştir. Bu verileri sıralayalım;
142,143,145,145,147,148,155,155,156,160,
162,163,163,167,169,169,170,170,172,175
histogramını oluşturacağız.
Önce veri grubunun açıklık değerini hesaplayalım: 175-142=33
Veri gruplarının sayısı 4 olsun. Açıklık değerini grup sayısına bölerek veri grubunun genişliğini bulacağız: 33/4=8,25
8,25 bundan büyük olan tek sayıyı yani 9'u alacağız. Genişlik 9'dur.
Şimdi tablo oluşturacağız.

Tablo: Sınıftaki Boy Uzunlukları

 

Boy uzunlukları

Kişi sayısı

142-150 

6

151-159          

3

160-168      

5

169-177        

6

 
Bu değerleri grafiğe aktarıp sütunlar çizeceğiz. Grafikte dikey eksen kişi sayısını, yatay eksen boy uzunluklarını gösterecek. Sonuç olarak sütunlardan oluşan grafiğimiz histogramdır.
 
Histogramla İlgili Örnek Sorular ve Cevapları
1)

Yukarıdaki soruda verileri küçükten büyüğe sıralarız.Açıklığı bulmak için en büyük değerden en küçük değeri çıkartırız. Açıklık değerimiz 27-14=13'tür.Veri grubunun genişliğini bulmak için 13'ü grup sayısına yani 5'e böleriz.Çıkan sonuç 2,6'dır.En yakın ve büyük olan tek sayıyı yani 3'ü alırız.Grubun genişliği 3'tür. 20-22 aralığında 6 tane veri vardır. B seçeneğindeki aralıkta toplam 8 değer vardır.Gruptaki verilerin yarısı olması için 10 veri olması gerekir.Yani yanlıştır.Doğru cevap B şıkkıdır.

2)

Yukarıdaki soruda verileri küçükten büyüğe sıralarız.Metre olarak kazılan tünel uzunluğu ile gün sayılarını karşılaştırırız. 25-29 metre kazılan tünelin gün sayısı 5 olarak verilmiştir.Verilere baktığımızda 28,28,28,29 var bir sayı eksik çıkıyor.Buda 27 olabilirki 5'e tamamlarız.Doğru cevap A şıkkıdır.

3)

Yukarıdaki soruda verileri küçükten büyüğe sıralarız.Açıklığı bulmak için en büyük değerden en küçük değeri çıkartırız. Açıklık değerimiz 33-4=29'dur.Veri grubunun genişliğini bulmak için 29'u grup sayısına yani 6'ya böleriz.Çıkan sonuç 4,8'dır.En yakın ve büyük olan tek sayıyı yani 5'i alırız.Grubun genişliği 5'tir.Genişlik 5 olduğu için 4-8 diye başlıyacak ve bu şekilde devam edecek.Şimdide dakika sayısı ile karşısındaki kişi sayıları tutuyormu ona bakcaz. 4-8 arasında sadece 4 ve 5 yani iki kişi var.Bunu veren bir şık var zaten.Doğru cevap C şıkkıdır.

4)

Yukarıdaki soruyu adım adım çözelim.İlk önce tatil köyüne gelen kişi sayısını bulalım.Histogramdaki yaş gruplarına karşılık gelen kişi sayılarını toplayalım.10+30+40+60+30+70+40+50+30=360 kişidir.Doğru cevap C şıkkıdır.

Veri grubunun açıklığını bulmak için baktığımızda, histogramdaki verileri 0'dan başlayarak 62'ye kadar sıralamış.Demekki 0 yaşında olanda var,62 yaşında olanda var.Bu durumda veri grubunun açıklık değeri 62-0=62'dir.Doğru cevap D şıkkıdır.

Veri grubunun genişliğini bulmak için açıklık değerini grup sayısına böleriz. 62'yi grup sayısına yani 9'a böleriz.Çıkan sonuç 6,8'dır.En yakın ve büyük olan tek sayıyı yani 7'yi alırız.Grubun genişliği 7'dir.Doğru cevap C şıkkıdır.

Tatil köyüne en fazla gelen yaş grubu 35-41 arası 70 kişidir.Doğru cevap B şıkkıdır.

Tatil köyüne en az gelen yaş grubu 0-6 arası 10 kişidir.Doğru cevap A şıkkıdır.

 

Histogram Örnekleri




640
0
0
Yorum Yaz